这一节主要讲nerf中的位置编码以及体渲染函数两部分：

1. 位置编码

   位置编码是nerf取得成功的原因之一，因为研究表明神经网络中更加倾向于学习到低频特征，而难以学习到高频特征，进而丢失较多的细节。因此nerf对采样后输入的点和视角方向都进行位置编码。

   根据原文所述，编码公式为：

   其中：

   对于采样后的点$L=10$，输入的视角方向$L=4$。

   那假设x的维度是$(N,3)$,那么编码后应该是$(N,3*2*10+3)-(N,63)$，与前面所说的输入维度相对应。

   同理对于$d$应该是$(N,3*2*4+3)-(N,27)$。

   具体代码如下：

   def pos_enc(x, min_deg, max_deg):
       scales = torch.tensor([2**i for i in range(min_deg, max_deg)]).type_as(x)  # 对于sin和cos中的各个维度的系数
       #例如L=4的话scales=[1,2,4,8]
       xb = torch.reshape((x[..., None, :] * scales[:, None]), list(x.shape[:-1]) + [-1])  # 利用广播策略做矩阵元素对应相乘
       #  xb维度为(B,4,3)
       four_feat = torch.sin(torch.cat([xb, xb + 0.5 * np.pi], dim=-1))  #  分别求sin和cos，最后拼接在一起  four_feat维度为[B,4,6]
       return torch.cat([x] + [four_feat], dim=-1)  # 最后和自身拼接得到最后结果 [B,27]
   

   ---

    

2. 体渲染函数：

   首先我们回顾论文中给出的公式：

   
   

   具体函数为：

   def volumetric_rendering(rgb, density, t_vals, dirs, white_bkgd):
   
       eps = 1e-10
   
       dists = torch.cat(
           [
               t_vals[..., 1:] - t_vals[..., :-1],
               torch.ones(t_vals[..., :1].shape, device=t_vals.device) * 1e10,
           ],
           dim=-1,
       )
       dists = dists * torch.norm(dirs[..., None, :], dim=-1)
       #  计算光线采样点之间的实际距离(采样点距离与方向向量范数相乘)
       alpha = 1.0 - torch.exp(-density[..., 0] * dists)
       #  计算alpha即透明度
       accum_prod = torch.cat(
           [
               torch.ones_like(alpha[..., :1]),
               torch.cumprod(1.0 - alpha[..., :-1] + eps, dim=-1),
           ],
           dim=-1,
       )  # 计算T
   
       weights = alpha * accum_prod  # 计算权重ω
   
       comp_rgb = (weights[..., None] * rgb).sum(dim=-2)  # 把整个同一光线上的所有采样点合在一起，得到最终值
       depth = (weights * t_vals).sum(dim=-1)  # 计算最后的加权深度值
       acc = weights.sum(dim=-1)  # 每条光线的加权值
       inv_eps = 1 / eps
   
       if white_bkgd:
           comp_rgb = comp_rgb + (1.0 - acc[..., None])  
   
       return comp_rgb, acc, weights
   

    

这其中alpha代表$1-exp(-\sigma*\delta)$为每个点的透明度，那么1-alpha则为$exp(-\sigma*\delta)$。

根据指数函数的性质：

所以：

    accum_prod = torch.cat(
        [
            torch.ones_like(alpha[..., :1]),
            torch.cumprod(1.0 - alpha[..., :-1] + eps, dim=-1),
        ],
        dim=-1,
    ) 

通过torch.cumprod函数进行累成求积得到$T_i$。

由weights = alpha * accum_prod得到权重$\omega_i$。

然后进行每条光线上的所有采样点求和得到最终的rgb。